韦达跳跃

起因是b哥深夜突然甩了个数学题给我。

求这个玩意儿 x，y的整数解形式。👴一看，这不就重要不等式吗，答案很显然。

后来发觉我看反了。

总而言之就是求 (x^2+y^2)/(x*y+1)为整数时 x和y的形式是什么

首先按照常规 x^2+y^2=k(1+x*y) 当然这个k⑧是0 肯定得是正整数。

然后👴就走上了错误的道路尝试通过k的值找规律然而肯定是不行的因为这个题k很必要我搁着充分的整显然很NT

思考无果去寻求b哥正解是啥聊天记录如下：

韦达跳跃我一看名字就想起了韦达定理不知道这俩有啥关系去百度搜搜看

好家伙不仅是IMO的题还是最难的那道 b哥就是b哥太抬举我了。

于是去看看解答如何：

首先假设k为非平方数。

解答果然用了韦达定理，意思是将a作为未知数，b作为常量，通过韦达定理把a1 a2两个解用a1单独表示出来即可。

由式子1可知 a2必然为整数因为kb a1均为正整数

由式子2可知a2必然不为0 因为我们假设k不为平方数且a1！=0 故b1^2-k必然不为0

有意思的就在这里，根据

我们得知 a1必然小于等于a2

但是根据式子2 我们得知 b1<a1 所以 (b1^2-k)/a1 必然小于a1

这就产生了矛盾因为你假设的情况是 a1+b1为最小和但是出现了a2+b1<a1+b1的情况于是这种就不成立了

根据反证法可得 k在正整数的前提下不是非平方数那就是平方数于是该题得证

啥也别说了没有b哥就没有今天这个博客为了庆祝👴博客没有胎死腹中 👴写下了文末的感谢词决定开学请b哥好好的喝一场。